多边形

[duō biān xíng]

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数学术语

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数学用语，由不在同一条直线上的三条或三条以上线段首尾顺次连接组成的平面图形就是多边形。^[1]按照不同的标准，多边形可以分为正多边形和非正多边形、凸多边形及凹多边形等。

中文名: 多边形
外文名: polygon
定义: 有三条及以三条上边的图形

性质: 平面图形
关键词: 正多边形、空间多边形
应用学科: 数学

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多边形

由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结且不相交所组成的封闭图形叫做多边形。在不同平面上的多条线段首尾顺次连结且不相交所组成的图形也被称为多边形，是广义的多边形。

组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形。组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点；多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角；连接多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。

多边形内角的一边与另一边反向延长线所组成的角，叫做多边形的外角。

在多边形的每一个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做多边形的外角和。

多边形还可以分为正多边形和非正多边形。正多边形各边相等且各内角相等。

多边形分平面多边形和空间多边形。平面多边形的所有顶点全在同一个平面上，空间多边形至少有一个顶点和其它的顶点不在同一个平面上。

多边形也可以分为凸多边形及凹多边形，凸多边形全部都是平面多边形（平面多边形不等于凸多边形，还包括平面的凹多边形），但是凹多边形却非全是空间多边形，也有平面凹多边形。

多边形

有限个点A1、A2、A3、…、An-1、An和线段A1A2、A2A3、…、An-1An的总体，叫做折线。A1和An叫做这折线的端点；A2、A3、…、An-1叫做折线的顶点；A1A2、A2A3、…、An-1An叫做折线的段节。如果折线的端点和各顶点不在同一平面内，则叫做空间折线；如果各顶点和两端点都在同一平面内，就叫平面折线。两端点重合的折线，叫做多边形。由空间折线构成的多边形叫做空间多边形；由平面折线构成的多边形叫做平面多边形。如果折线A1A2A3…An-1An的两端点A1和An重合，就成多边形A1A2A3…An-1An；A1A2、A2A3、 …、An-1An 叫做多边形的边；∠AnA1A2、∠A1A2A3、…叫做多边形的角；A1、A2、A3、…、An-1、An叫做这个多边形的顶点。平面多边形按边数分类，可分为三边形（三角形）、四边形、五边形、六边形等等。

多边形定理

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内角

1、n边形的内角和等于（n-2）×180；

注：此定理适用所有的平面多边形，包括凸多边形和平面凹多边形。

2、在平面多边形中，边数相等的凸多边形和凹多边形内角和相等。但是空间多边形不适用。可逆用：

n边形的边=（内角和÷180°）+2；

多边形

过n边形一个顶点有（n-3）条对角线；

n边形共有n×（n-3）÷2=对角线；

3、 n边形过一个顶点引出所有对角线后，把多边形分成n-2个三角形

推论：

（1）任意凸形多边形的外角和都等于360°；

（2）多边形对角线的计算公式：n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）；

（3）在平面内，各边相等，各内角也都相等的多边形叫做正多边形。【两个条件必须同时满足】

反例：矩形（各内角相等，各边不一定相等）；菱形（各边相等，各内角不一定相等）。

外角

多边形外角和定理：

1、n边形外角和等于n·180°－(n－2)·180°=360°

2、多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°

3、多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫这个多边形的外角，（这样的产生外角有两个，由于他们相等，但通常只取其中一个）。

多边形的边数	3	4	5	6	7	···	n
多边形内角与外角的总和	540°	720º	900º	1080º	1260º	···	180ºn
多边形的内角和	180°	360º	540º	720º	900º	···	180º x（n-2）
多边形的外角和	360º	360º	360º	360º	360º	···	360º

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