Sustitución Trigonométrica

Ya vimos millones de integralescon sustituciónpartes y todo. Luegoen el momento de la prueba encuentras esta integral

\[\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}+9}} d x\]

Tiene una raízcon \(x\) en el denominadorno se te ocurre ninguna sustituciónno puedes usar el LIATE. ¿Qué hacer? Llorar?

TRANQUIIIIIILO ... usemos la sustitución trigonométricanos salvará la vida.

¿Cuándo usar la sustitución trigonométrica?

En aquel ejemplo de la integral

\[\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}+9}} d x\]

Apareció \(\sqrt{x^{2}+a^{2}}\)aquel \(a^{2}\) es el \(9\).

\[a^{2}=9 \rightarrow a=\pm 3\]

En la sustitución trigonométricadebemos ignorar ese negativo. Siempre vamos a tomar el positivo.

Ese \(a\) es siempre un número.

Entoncessi tuviéramos

\[\sqrt{x^{2}-9} \rightarrow a^{2}=9 \rightarrow a=3\]

\[\sqrt{4-x^{2}} \rightarrow a^{2}=4 \rightarrow a=2\]

\[\sqrt{x^{2}-2} \rightarrow a^{2}=2 \rightarrow a=\sqrt{2}\]

Okestamos en SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA. Esto significa que vamos a hacer una SUSTITUCIÓNy que esa sustitución será una función TRIGONOMÉTRICA.

La pregunta es qué sustitucion hacer. En cada casoutilizaremos una sustitución diferente.

Usando la sustitución trigonométrica

Volvamos a nuestro ejemplo

\[\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}+9}} d x\]

Paso 1: Identificamos cuál caso.

Aquí tenemos el primer caso: \(\sqrt{x^{2}+a^{2}}\) ya vimos que \(a=3\). Hagamos

\[x=a \operatorname{tg} \theta \rightarrow x=3 \operatorname{tg} \theta\]

Paso 2: Encontramos \(d x\)derivando \(x\)

Ahora necesitamos encontrar \(d x\)solo derivamos \(x\)

\[d x=3 \sec ^{2} \theta d \theta\]

Paso 3: Reemplace \(x\) y \(d x\) en la integral dada.

En primer lugarvamos a ver solamente la sustitución de la raíz

\[\sqrt{x^{2}+9} \Rightarrow \sqrt{(3 t g \theta)^{2}+9}=\sqrt{9 t g^{2} \theta+9}=\sqrt{9\left(t g^{2} \theta+1\right)}\]

Usando

\[t g^{2} \theta+1=\sec ^{2} \theta\]

\[\sqrt{9\left(\operatorname{tg}^{2} \theta+1\right)}=\sqrt{9 \sec ^{2} \theta}=3 \sec \theta\]

Tenga en cuenta que la raíz se ha ido¿verdad? Este tipo de integración es exactamente para eliminar esta raízasí que tenga en cuenta: si la raíz no desapareceme equivoqué en algún lugar.

\[\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}+9}} d x \Rightarrow \int \frac{3 \sec ^{2} \theta d \theta}{3 \operatorname{tg} \theta \cdot \sqrt{\left(3 \operatorname{tg}^{2} \theta\right)^{2}+9}}=\int \frac{3 \sec ^{2} \theta d \theta}{3 \operatorname{tg} \theta \cdot 3 \sec \theta}=\int \frac{\sec \theta}{3 \operatorname{tg} \theta} d \theta\]

Arreglando eso

\[=\frac{1}{3} \int \frac{\frac{1}{\cos \theta}}{\frac{\cos \theta}{\cos \theta}} d \theta=\frac{1}{3} \int \frac{1}{\operatorname{sen} \theta} d \theta=\frac{1}{3} \int \operatorname{cossec} \theta d \theta\]

Paso 4: Resolver la integral en la variable \(\theta\).

Aquí solo debes resolver la integral xD

\[\frac{1}{3} \int \operatorname{cossec} \theta d \theta=-\frac{1}{3} \ln |\operatorname{cossec} \theta+\operatorname{cotg} \theta|+C\]

Paso 5: Usa el triángulo rectángulo para convertir el \(\theta\) a la variable inicial.

No interesa llegar a la respuesta en función de \(\theta\)necesitamos encontrarla en función de \(x\) porque esa era la variable que tenía allá al principio. ¿Cómo lo hacemos? ¿Y ahora?

Usamos

\[x=3 \operatorname{tg} \theta\]

Entonces

\[\operatorname{tg} \theta=\frac{x}{3}\]

Mirando el triángulo rectángulo:

Simplemente use las relaciones trigonométricas

\[\operatorname{sen} \theta=\frac{\text {Cateto Opuesto}}{\text {Hipotenusa}}\]

\[\cos \theta=\frac{\text {Cateto Adyacente}}{\text {Hipotenusa}}\]

\[\operatorname{tg} \theta=\frac{\text {Cateto Opuesto}}{\text {Cateto Adyacente}}\]

\[\operatorname{tg} \theta=\frac{\text {Cateto Opuesto}}{\text {Cateto Adyacente}}=\frac{x}{3}\]

El cateto opuesto será \(x\) y el cateto adyacente será \(3\). Nuestro triángulo será

Amigopero ¿qué pasa con esa hipotenusa? Pitágoras

\[\text {Hipotenusa}=\sqrt{x^{2}+9}\]

Aquísiempre faltará un ladopara encontrarlo solo haz Pitágoras.

El triángulo de nuestro ejemplo es

Queremos escribir

\[\frac{1}{3} \ln |\operatorname{cossec} \theta-\operatorname{cotg} \theta|+C\]

Con \(x\). Aquí tendremos

\[\operatorname{cotg} \theta=\frac{1}{\operatorname{tg} \theta}=\frac{1}{x / 3}=\frac{3}{x}\]

Y

\[\operatorname{cossec} \theta=\frac{1}{\operatorname{sen} \theta}=\frac{1}{x / \sqrt{x^{2}+9}}=\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x}\]

Volviendo ahora a \(x\)

\[-\frac{1}{3} \ln \left|\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x}+\frac{3}{x}\right|+C\]

Los pasos son los siguientes:

Paso 1: identificamos cual caso.

Paso 2: encontramos \(d x\).

Paso 3: Sustituir \(x\) y \(d x\) en la integral dada.

Paso 4: Resolver la integral en la variable \(\theta\).

Paso 5: Usar el triángulo rectángulo para convertir el \(\theta\) a la variable inicial.

¡Eso es todo amigosmanos a la obravamos a los ejercicios!