Técnica de evaluación integral
En matemáticasla sustitución trigonométrica es la sustitución de funciones trigonométricas por otras expresiones. En cálculola sustitución trigonométrica es una técnica para evaluar integrales. Ademásse pueden utilizar las identidades trigonométricas para simplificar ciertas integrales que contienen expresiones radicales. Al igual que otros métodos de integración por sustituciónal evaluar una integral definidapuede resultar más sencillo deducir completamente la primitiva antes de aplicar los límites de integración.
Caso I: Integrandos que contienen a2 − x2 Vamos x=apecado Silencio Silencio ,{display x=asin theta} 1− − pecado2 Silencio Silencio =#2 Silencio Silencio .{display 1-sin ^{2}theta =cos ^{2}theta.}
Ejemplos del Caso I Construcción geométrica para Caso I Ejemplo 1 En la integral
∫ ∫ dxa2− − x2,{display int {frac {dx}{sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}
podemos utilizar
x=apecado Silencio Silencio ,dx=a# Silencio Silencio dSilencio Silencio ,Silencio Silencio =arcsin xa.{display x=asin thetaquad dx=acos theta ,dthetaquad theta = 'arcsin {frac - Sí.
Entonces,
∫ ∫ dxa2− − x2=∫ ∫ a# Silencio Silencio dSilencio Silencio a2− − a2pecado2 Silencio Silencio =∫ ∫ a# Silencio Silencio dSilencio Silencio a2()1− − pecado2 Silencio Silencio )=∫ ∫ a# Silencio Silencio dSilencio Silencio a2#2 Silencio Silencio =∫ ∫ dSilencio Silencio =Silencio Silencio +C=arcsin xa+C.{display {begin{aligned}in {frac {dx}{sqrt {a^{2}-x^{2}}} {===} {fnMientras] +C[6pt] {x}}+C.end{aligned}}
El paso anterior requiere que 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0{display a confía0} 0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"># Silencio Silencio ■0.{display cos theta - No. a{display a} a2,{display a^{2},} <math alttext="{display -pi /2<theta − − π π /2.Silencio Silencio .π π /2{display -pi /2 =theta } <img alt="{display -pi /2<theta
Para una integral definidahay que averiguar cómo cambian los límites de la integración. Por ejemplocomo x{display x} 0{display 0} a/2,{display a/2,} pecado Silencio Silencio {display sin theta } 0{display 0} 1/2,{display 1/2,} Silencio Silencio {display theta } 0{display 0} π π /6.{display pi /6.}
∫ ∫ 0a/2dxa2− − x2=∫ ∫ 0π π /6dSilencio Silencio =π π 6.{display int ¿Qué? {a^{2}-x^{2}}=int ¿Qué? } {6}}
Se necesita algún cuidado al escoger los límites. Porque la integración anterior requiere que <math alttext="{display -pi /2<theta − − π π /2.Silencio Silencio .π π /2{display -pi /2 =theta } <img alt="{display -pi /2<theta Silencio Silencio {display theta } 0{display 0} π π /6.{display pi /6.} Silencio Silencio {display theta } π π {display pi} 5π π /6,{display 5pi /6,}
Como alternativaevalúe completamente las integrales indefinidas antes de aplicar las condiciones de contorno. En ese casola antiderivada da
∫ ∫ 0a/2dxa2− − x2=arcsin ()xa)Silencio0a/2=arcsin ()12)− − arcsin ()0)=π π 6{display int ¿Por qué? {fnMicroc {1}right)-arcsin(0)={frac {pic {pic}right)={fnMic {pic {pic} } {6}}
Ejemplo 2 La integral
∫ ∫ a2− − x2dx,{display int {sqrt {a^{2}-x^{2}},dx,}
se puede evaluar dejando x=apecado Silencio Silencio ,dx=a# Silencio Silencio dSilencio Silencio ,Silencio Silencio =arcsin xa,{text x=asin theta,dx=acos theta,dtheta,theta =arcsin {fracsin {x}{a}},} 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0{display a confía0} a2=a,{fnMicrosoft Sans Serif} − − π π 2≤ ≤ Silencio Silencio ≤ ≤ π π 2{text -{frac {pi ## {2}leq theta leq {frac {pi } {2}} # Silencio Silencio ≥ ≥ 0{display cos theta geq 0} #2 Silencio Silencio =# Silencio Silencio .{fnMicrosoft Sans Serif} }=cos theta.}
Entonces,
∫ ∫ a2− − x2dx=∫ ∫ a2− − a2pecado2 Silencio Silencio ()a# Silencio Silencio )dSilencio Silencio =∫ ∫ a2()1− − pecado2 Silencio Silencio )()a# Silencio Silencio )dSilencio Silencio =∫ ∫ a2()#2 Silencio Silencio )()a# Silencio Silencio )dSilencio Silencio =∫ ∫ ()a# Silencio Silencio )()a# Silencio Silencio )dSilencio Silencio =a2∫ ∫ #2 Silencio Silencio dSilencio Silencio =a2∫ ∫ ()1+# 2Silencio Silencio 2)dSilencio Silencio =a22()Silencio Silencio +12pecado 2Silencio Silencio )+C=a22()Silencio Silencio +pecado Silencio Silencio # Silencio Silencio )+C=a22()arcsin xa+xa1− − x2a2)+C=a22arcsin xa+x2a2− − x2+C.{2} {fnMicrosoft Sans Serif} {x}{a}+{frac} {x}{}{sqrt {1-{frac} {x^{2}}}}derecha)+C[6pt] {x}{a}+{frac} {x}{2}{sqrt - ¿Qué?
Para una integral definidalos límites cambian una vez que se realiza la sustitución y se determinan utilizando la ecuación Silencio Silencio =arcsin xa,{text theta = 'arcsin {frac {x}{a}},} − − π π 2≤ ≤ Silencio Silencio ≤ ≤ π π 2.{text -{frac {pi ## {2}leq theta leq {frac {pi } {2}}.
Por ejemplola integral definida
∫ ∫ − − 114− − x2dx,{display int _{-1}{1}{sqrt {4-x^{2},dx,}
puede ser evaluado por sustitución x=2pecado Silencio Silencio ,dx=2# Silencio Silencio dSilencio Silencio ,{display x=2sin theta,dx=2cos theta ,dtheta} Silencio Silencio =arcsin x2.{text theta = 'arcsin {frac {x}{2}}
Porque... arcsin ()1/2)=π π /6{display arcsin(1/{2})=pi /6} arcsin ()− − 1/2)=− − π π /6,{display arcsin(-1/2)=-pi /6,}
∫ ∫ − − 114− − x2dx=∫ ∫ − − π π /6π π /64− − 4pecado2 Silencio Silencio ()2# Silencio Silencio )dSilencio Silencio =∫ ∫ − − π π /6π π /64()1− − pecado2 Silencio Silencio )()2# Silencio Silencio )dSilencio Silencio =∫ ∫ − − π π /6π π /64()#2 Silencio Silencio )()2# Silencio Silencio )dSilencio Silencio =∫ ∫ − − π π /6π π /6()2# Silencio Silencio )()2# Silencio Silencio )dSilencio Silencio =4∫ ∫ − − π π /6π π /6#2 Silencio Silencio dSilencio Silencio =4∫ ∫ − − π π /6π π /6()1+# 2Silencio Silencio 2)dSilencio Silencio =2[Silencio Silencio +12pecado 2Silencio Silencio ]− − π π /6π π /6=[2Silencio Silencio +pecado 2Silencio Silencio ]Silencio− − π π /6π π /6=()π π 3+pecado π π 3)− − ()− − π π 3+pecado ()− − π π 3))=2π π 3+3.{display {begin{aligned}in ¿Qué? {2fnMicrosoft Sans Serif} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {\fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? }{3}+sin left(-{frac {pi {2fnK}right)={frac {2pi) {}}+{sqrt {3}end{aligned}}
Por otro ladola aplicación directa de los términos límite a la fórmula obtenida previamente para la antiderivada produce
∫ ∫ − − 114− − x2dx=[222arcsin x2+x222− − x2]− − 11=()2arcsin 12+124− − 1)− − ()2arcsin ()− − 12)+− − 124− − 1)=()2⋅ ⋅ π π 6+32)− − ()2⋅ ⋅ ()− − π π 6)− − 32)=2π π 3+3{display {begin{aligned}in ¿Qué? {4-x^{2}},dx limit=left[{frac {2^{2}{2}}arcsin {fracsin} {x}{2}+{frac} {x}{2}} {2}-x^{2}}derecha]_{1}[6pt] {fnMicroc {1}}{2}{2}{2}{4-1}right)-left(2arcsin left(-{frac {1}{2}right)+{fracsinleft(2left) {-1}{2}{sqrt {4-1}right)[6pt] # {6}}+{fracsqrt {3}{2}right)-left(2cdot left(-{frac {pi}{6}right)-{frac {sqrt {3}{2}right)[6pt] } {3}+{sqrt {3}end{aligned}}
Caso II: Integrandos que contienen a2 + x2 Vamos x=a# Silencio Silencio ,{display x=atan theta} 1+#2 Silencio Silencio =sec2 Silencio Silencio .{display 1+tan ^{2}theta =sec ^{2}theta.}
Ejemplos del Caso II Construcción geométrica para el caso II Ejemplo 1 En la integral
∫ ∫ dxa2+x2{display int {frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}
podemos escribir
x=a# Silencio Silencio ,dx=asec2 Silencio Silencio dSilencio Silencio ,Silencio Silencio =arctan xa,{display x=atan thetaquad dx=asec ^{2}theta ,dthetaquad theta = 'arctan {frac {x}{a}},}
para que la integral se convierta
∫ ∫ dxa2+x2=∫ ∫ asec2 Silencio Silencio dSilencio Silencio a2+a2#2 Silencio Silencio =∫ ∫ asec2 Silencio Silencio dSilencio Silencio a2()1+#2 Silencio Silencio )=∫ ∫ asec2 Silencio Silencio dSilencio Silencio a2sec2 Silencio Silencio =∫ ∫ dSilencio Silencio a=Silencio Silencio a+C=1aarctan xa+C,{display {begin{aligned}int {frac {dx}{2}+x^{2}}} {=int} {frac {asec ^{2}theta ,dtheta {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {1}rctan} {fnMicroc {x}}+C,end{aligned}}
proporcionadas aل ل 0.{display aneq 0}
Para una integral definidalos límites cambian una vez que se realiza la sustitución y se determinan utilizando la ecuación Silencio Silencio =arctan xa,{display theta =arctan {frac {x}{a}},} <math alttext="{display -{frac {pi }{2}}<theta − − π π 2.Silencio Silencio .π π 2.{display - ¿Qué? ♪♪♪♪♪Theta♪♪♪♪frac {pi } {2}}. <img alt="{display -{frac {pi }{2}}<theta
Por ejemplola integral definida
∫ ∫ 014dx1+x2{display int ¿Por qué?
puede ser evaluado por sustitución x=# Silencio Silencio ,dx=sec2 Silencio Silencio dSilencio Silencio ,{display x=tan theta,dx=sec ^{2}theta ,dtheta} Silencio Silencio =arctan x.{display theta =arctan x.}
Desde arctan 0=0{display arctan 0=0} arctan 1=π π /4,{display arctan 1=pi /4,}
∫ ∫ 014dx1+x2=4∫ ∫ 01dx1+x2=4∫ ∫ 0π π /4sec2 Silencio Silencio dSilencio Silencio 1+#2 Silencio Silencio =4∫ ∫ 0π π /4sec2 Silencio Silencio dSilencio Silencio sec2 Silencio Silencio =4∫ ∫ 0π π /4dSilencio Silencio =()4Silencio Silencio )Silencio0π π /4=4()π π 4− − 0)=π π .{display {begin{aligned}in {fnMicroc {4,dx}{1+x^{2}} {=4int {0} {0} {0} {0} {fn0} {fn0}}[6pt] âTMa {f} {f} {fn0} {fc}gn0}Thetatheta } {0} {0} {0}f} {f}fn0} {fn0}} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnf}fnMinfnMinMinf}fnfnfnf}fnfnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMi ♫ {sec ^{2}theta {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} Silencio. /4}=4left({frac {pi {4}-0right)=pi.end{aligned}}
Mientras tantola aplicación directa de los términos límite a la fórmula para la antiderivada produce
∫ ∫ 014dx1+x2=4∫ ∫ 01dx1+x2=4[11arctan x1]01=4()arctan x)Silencio01=4()arctan 1− − arctan 0)=4()π π 4− − 0)=π π ,{display {begin{aligned}in {0}{1}{4} {4,dx}{1+x^{2}Puls=4int {fnK}\fnK}\\fnK}\\\fnK}\\fn}\\fnK} {1}{1}arctan {x}{1}right]_{1}\\\\\\\\cn4(arctan x){Bigg #### ############################################################################################################################################################################################################################################################ {4}-0right)=piend{aligned}
Ejemplo 2 La integral
∫ ∫ a2+x2dx{display int {sqrt {a^{2}+x^{2}},{dx}
se puede evaluar dejando x=a# Silencio Silencio ,dx=asec2 Silencio Silencio dSilencio Silencio ,Silencio Silencio =arctan xa,{display x=atan theta,dx=asec ^{2}theta ,dtheta,theta =arctan {frac {x}{a}},}
Donde 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0{display a confía0} a2=a,{fnMicrosoft Sans Serif}=a,} <math alttext="{display -{frac {pi }{2}}<theta − − π π 2.Silencio Silencio .π π 2{display - ¿Qué? ♪♪♪♪♪Theta♪♪♪♪frac {pi } {2}} <img alt="{display -{frac {pi }{2}}<theta 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">sec Silencio Silencio ■0{display sec theta } sec2 Silencio Silencio =sec Silencio Silencio .{display {sqrt {ssec }theta {fnMicrosoft Sans Serif}=sec theta.}
Entonces,
∫ ∫ a2+x2dx=∫ ∫ a2+a2#2 Silencio Silencio ()asec2 Silencio Silencio )dSilencio Silencio =∫ ∫ a2()1+#2 Silencio Silencio )()asec2 Silencio Silencio )dSilencio Silencio =∫ ∫ a2sec2 Silencio Silencio ()asec2 Silencio Silencio )dSilencio Silencio =∫ ∫ ()asec Silencio Silencio )()asec2 Silencio Silencio )dSilencio Silencio =a2∫ ∫ sec3 Silencio Silencio dSilencio Silencio .{fnMicrosoft Sans Serif}
∫ ∫ a2+x2dx=a22()sec Silencio Silencio # Silencio Silencio +In Silenciosec Silencio Silencio +# Silencio Silencio Silencio)+C=a22()1+x2a2⋅ ⋅ xa+In Silencio1+x2a2+xaSilencio)+C=12()xa2+x2+a2In Silenciox+a2+x2aSilencio)+C.{display {begin{aligned}nt {sqrt {a^{2}+x^{2}},dx limit={frac {a^{2} {2}} {sec theta tan theta +ln Silenciosec theta +tan theta ¿Por qué? {x}} {cdot} {fnMicroc {x} {fn}fn}fn} left perpetua{sqrt {1+{frac {fnK}} {fnMicroc}}}} {fnMicroc}}}} {f}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { {x}{a}} 'justo en la vidaright)+C[6pt] {a^{2}+x^{2}}+a^{2}ln} {fnMicroc {x+{sqrt {a^{2}+x^{2}}{a}}}right WordPressright)+C.end{aligned}}}
Caso III: Integrandos que contienen x2 − a2 Vamos x=asec Silencio Silencio ,{display x=asectheta} sec2 Silencio Silencio − − 1=#2 Silencio Silencio .{display sec ^{2}theta -1=tan ^{2}theta.}
Ejemplos del Caso III Construcción geométrica para el caso III Integrales como
∫ ∫ dxx2− − a2{display int {frac {dx}{2}-a}}}
también se puede evaluar mediante fracciones parciales en lugar de sustituciones trigonométricas. Sin embargola integral
∫ ∫ x2− − a2dx{display int {sqrt {x^{2}-a^{2}},dx}
no puedo. En este casouna sustitución apropiada es:
x=asec Silencio Silencio ,dx=asec Silencio Silencio # Silencio Silencio dSilencio Silencio ,Silencio Silencio =arcsec xa,{display x=asec theta,dx=asec theta tan theta,dtheta,theta =operatorname {arcsec} {fnMicroc {x}{a}},}
Donde 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0{display a confía0} a2=a,{fnMicrosoft Sans Serif}=a,} <math alttext="{display 0leq theta 0≤ ≤ Silencio Silencio .π π 2{display 0leq theta ♪♪frac {pi } {2}} <img alt="{display 0leq theta 0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x■0,{display x confianza0,} # Silencio Silencio ≥ ≥ 0{display tan theta geq 0} #2 Silencio Silencio =# Silencio Silencio .{display {sqrt {tan }=tan theta.}
Entonces,
∫ ∫ x2− − a2dx=∫ ∫ a2sec2 Silencio Silencio − − a2⋅ ⋅ asec Silencio Silencio # Silencio Silencio dSilencio Silencio =∫ ∫ a2()sec2 Silencio Silencio − − 1)⋅ ⋅ asec Silencio Silencio # Silencio Silencio dSilencio Silencio =∫ ∫ a2#2 Silencio Silencio ⋅ ⋅ asec Silencio Silencio # Silencio Silencio dSilencio Silencio =∫ ∫ a2sec Silencio Silencio #2 Silencio Silencio dSilencio Silencio =a2∫ ∫ ()sec Silencio Silencio )()sec2 Silencio Silencio − − 1)dSilencio Silencio =a2∫ ∫ ()sec3 Silencio Silencio − − sec Silencio Silencio )dSilencio Silencio .{fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft}cH}fnMicros =ccH}cH0}fnun}Thetat} {fnMicrosoft Sans Serif}
Uno puede evaluar la parte integral de la función secant multiplicando el numerador y el denominador por ()sec Silencio Silencio +# Silencio Silencio ){display (sec theta +tan theta)}
∫ ∫ x2− − a2dx=a22()sec Silencio Silencio # Silencio Silencio +In Silenciosec Silencio Silencio +# Silencio Silencio Silencio)− − a2In Silenciosec Silencio Silencio +# Silencio Silencio Silencio+C=a22()sec Silencio Silencio # Silencio Silencio − − In Silenciosec Silencio Silencio +# Silencio Silencio Silencio)+C=a22()xa⋅ ⋅ x2a2− − 1− − In Silencioxa+x2a2− − 1Silencio)+C=12()xx2− − a2− − a2In Silenciox+x2− − a2aSilencio)+C.{display {begin{aligned}int {sqrt {x^{2}-a^{2}}},dx limit={frac {a^{2} {2}} {sec theta tan theta +ln Нодsec theta +tan theta ←)-a^{2}ln Нsec theta +tan theta {2}{2} {2} {sec theta tan theta -ln +tan theta ¿Por qué? {x^{2}{a^{2}}}}-ln} left sometida{frac {fnK}}+ {fnMicroc} {x^{2}{a^{2}}}}}}}derechoderecho)+C[6pt] {x^{2}-a^{2}}-a^{2}ln left sometida{frac {x+{sqrt {x^{2}-a^{2}}} {a}}derechoderecho)+C.end{aligned}}}}
Cuando <math alttext="{display {frac {pi }{2}}π π 2.Silencio Silencio ≤ ≤ π π ,{display {frac {pi}{2} {theta leqpi} <img alt="{display {frac {pi }{2}}<math alttext="{display xx.0{display x realizadas0} <img alt="x# Silencio Silencio ≤ ≤ 0,{display tan theta leq 0,} #2 Silencio Silencio =− − # Silencio Silencio {display {sqrt {tan }theta }=- 'tan theta }
Sustituciones que eliminan funciones trigonométricas La sustitución se puede utilizar para eliminar funciones trigonométricas.
Por ejemplo,
∫ ∫ f()pecado ()x),# ()x))dx=∫ ∫ 1± ± 1− − u2f()u,± ± 1− − u2)duu=pecado ()x)∫ ∫ f()pecado ()x),# ()x))dx=∫ ∫ 1∓ ∓ 1− − u2f()± ± 1− − u2,u)duu=# ()x)∫ ∫ f()pecado ()x),# ()x))dx=∫ ∫ 21+u2f()2u1+u2,1− − u21+u2)duu=# ()x2)################################################################################################################################################################################################################################################################ {2u}{1+u^{2}}} {frac {1-u^{2}{1+u^{2}}}derecha),du trocito hu=tan left({tfrac {x}{2}}derecha)[6pt]end{aligned}}}}}
La última sustitución se conoce como sustitución de Weierstrassque utiliza fórmulas de medio ángulo tangente.
Por ejemplo,
∫ ∫ 4# x()1+# x)3dx=∫ ∫ 21+u24()1− − u21+u2)()1+1− − u21+u2)3du=∫ ∫ ()1− − u2)()1+u2)du=∫ ∫ ()1− − u4)du=u− − u55+C=# x2− − 15#5 x2+C.{display {begin{aligned}int {frac {4cos x}{(1+cos x)}}},dx limit=int {frac} {2}{1+u^{2}}{frac {4left({frac {1-u^{2}{1+u^{2}}}right)}{left(1+{frac}{2}}}}}}{derecho)}{left(1+{frac}{0}{2}}}}}}}}}}}}}}{dere}}{dere)}}{left}{left(1+{left(1+{left {left(1+{}{i}{i}{e}{e}{i}{i}{q}{i}{i}{i}{}{}{}{}{}}{i}{i}}}}{}}}}}}}}{i}}}{i}}{i}}{i}}}}}}}}}}}}}{ {1-u^{2}{1+u^{2}}right)},du=int (1-u^{2})(1+u^{2}),du\=int (1-u^{4}),du=u {fn} {fn} {fn} {fn}fnh}- {fn} {fn}}tan } {fn}{5} {fn} {fn}fn}fn}fn} {fn0}f}fn0}fn}fn}fn} {fn}fn}fn}fn}fn}fn9}fn}fn}fn}fn}fn}f}fn}fn9}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn9}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn} {x}{2}+C.end{aligned}}
Sustitución hiperbólica Las sustituciones de funciones hiperbólicas también se pueden utilizar para simplificar integrales.
In the integral ∫ ∫ dxa2+x2,{display int {frac {dx}{sqrt {a^{2}+x^{2}}},} x=apecado u,{display x=asinh {u} dx=acosh udu.{display dx=acosh u,du.}
Entoncesusando las identidades cosh2 ()x)− − pecado2 ()x)=1{display cosh ^{2}(x)-sinh ^{2}(x)=1} pecado− − 1 x=In ()x+x2+1),{display sinh ^{-1}{x}=ln(x+{sqrt {x^{2}+1}}}}}
∫ ∫ dxa2+x2=∫ ∫ acosh udua2+a2pecado2 u,=∫ ∫ acosh udua1+pecado2 u=∫ ∫ acosh uacosh udu=u+C=pecado− − 1 xa+C=In ()x2a2+1+xa)+C=In ()x2+a2+xa)+C{display {begin{aligned}in {frac {dx}{sqrt {a^{2}+x^{2}}}}Pulido=int {frac {acosh u,du}{sqrt {a^{2}+a}peh ^{2}u}}\[6pt] Consiguiente=nse {af} {f}f} {f} {f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}\\f}\f}f}f}f}\\\\\fnh00\fnh00}\\\\fnh00\fnh00}\\fnh00fnh00}fnh00}\fnh00}\fnh00}\\fn {1+fnh ^{2}}}},[6pt] sentimiento=int {frac {acosh {u}{acosh u}},du[6pt] limit=u+C[6pt] {x}{a}}+C[6pt] {x^{2}}{a^{2}}}}+1}+{frac {x}{a}right)+C[6pt] {fnMicrosoft Sans Serif}
Más resultados...
![{display {begin{aligned}int {frac {dx}{sqrt {a^{2}-x^{2}}}}&=int {frac {acos theta ,dtheta }{sqrt {a^{2}-a^{2}sin ^{2}theta }}}\[6pt]&=int {frac {acos theta ,dtheta }{sqrt {a^{2}(1-sin ^{2}theta)}}}\[6pt]&=int {frac {acos theta ,dtheta }{sqrt {a^{2}cos ^{2}theta }}}\[6pt]&=int dtheta \[6pt]&=theta +C\[6pt]&=arcsin {frac {x}{a}}+C.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0f45f461035d567bc90912abb383b4f184bc87)
![{display {begin{aligned}int {sqrt {a^{2}-x^{2}}},dx&=int {sqrt {a^{2}-a^{2}sin ^{2}theta }},(acos theta),dtheta \[6pt]&=int {sqrt {a^{2}(1-sin ^{2}theta)}},(acos theta),dtheta \[6pt]&=int {sqrt {a^{2}(cos ^{2}theta)}},(acos theta),dtheta \[6pt]&=int (acos theta)(acos theta),dtheta \[6pt]&=a^{2}int cos ^{2}theta ,dtheta \[6pt]&=a^{2}int left({frac {1+cos 2theta }{2}}right),dtheta \[6pt]&={frac {a^{2}}{2}}left(theta +{frac {1}{2}}sin 2theta right)+C\[6pt]&={frac {a^{2}}{2}}(theta +sin theta cos theta)+C\[6pt]&={frac {a^{2}}{2}}left(arcsin {frac {x}{a}}+{frac {x}{a}}{sqrt {1-{frac {x^{2}}{a^{2}}}}}right)+C\[6pt]&={frac {a^{2}}{2}}arcsin {frac {x}{a}}+{frac {x}{2}}{sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc8b7727d973d3575d22f781010591f86e20436)
![{display {begin{aligned}int _{-1}^{1}{sqrt {4-x^{2}}},dx&=int _{-pi /6}^{pi /6}{sqrt {4-4sin ^{2}theta }},(2cos theta),dtheta \[6pt]&=int _{-pi /6}^{pi /6}{sqrt {4(1-sin ^{2}theta)}},(2cos theta),dtheta \[6pt]&=int _{-pi /6}^{pi /6}{sqrt {4(cos ^{2}theta)}},(2cos theta),dtheta \[6pt]&=int _{-pi /6}^{pi /6}(2cos theta)(2cos theta),dtheta \[6pt]&=4int _{-pi /6}^{pi /6}cos ^{2}theta ,dtheta \[6pt]&=4int _{-pi /6}^{pi /6}left({frac {1+cos 2theta }{2}}right),dtheta \[6pt]&=2left[theta +{frac {1}{2}}sin 2theta right]_{-pi /6}^{pi /6}=[2theta +sin 2theta ]{Biggl |}_{-pi /6}^{pi /6}\[6pt]&=left({frac {pi }{3}}+sin {frac {pi }{3}}right)-left(-{frac {pi }{3}}+sin left(-{frac {pi }{3}}right)right)={frac {2pi }{3}}+{sqrt {3}}.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00648715967922d2740a30e742875ae05a2a32ba)
![{display {begin{aligned}int _{-1}^{1}{sqrt {4-x^{2}}},dx&=left[{frac {2^{2}}{2}}arcsin {frac {x}{2}}+{frac {x}{2}}{sqrt {2^{2}-x^{2}}}right]_{-1}^{1}\[6pt]&=left(2arcsin {frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}{sqrt {4-1}}right)-left(2arcsin left(-{frac {1}{2}}right)+{frac {-1}{2}}{sqrt {4-1}}right)\[6pt]&=left(2cdot {frac {pi }{6}}+{frac {sqrt {3}}{2}}right)-left(2cdot left(-{frac {pi }{6}}right)-{frac {sqrt {3}}{2}}right)\[6pt]&={frac {2pi }{3}}+{sqrt {3}}end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331bd80b5e0c5a19ece342b80e800bd3d1bc2093)
![{display {begin{aligned}int {frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}&=int {frac {asec ^{2}theta ,dtheta }{a^{2}+a^{2}tan ^{2}theta }}\[6pt]&=int {frac {asec ^{2}theta ,dtheta }{a^{2}(1+tan ^{2}theta)}}\[6pt]&=int {frac {asec ^{2}theta ,dtheta }{a^{2}sec ^{2}theta }}\[6pt]&=int {frac {dtheta }{a}}\[6pt]&={frac {theta }{a}}+C\[6pt]&={frac {1}{a}}arctan {frac {x}{a}}+C,end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c65e486a1f8cafb8397f72820972c35efacd858)
![{display {begin{aligned}int _{0}^{1}{frac {4,dx}{1+x^{2}}}&=4int _{0}^{1}{frac {dx}{1+x^{2}}}\[6pt]&=4int _{0}^{pi /4}{frac {sec ^{2}theta ,dtheta }{1+tan ^{2}theta }}\[6pt]&=4int _{0}^{pi /4}{frac {sec ^{2}theta ,dtheta }{sec ^{2}theta }}\[6pt]&=4int _{0}^{pi /4}dtheta \[6pt]&=(4theta){Bigg |}_{0}^{pi /4}=4left({frac {pi }{4}}-0right)=pi.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1fdc8a13ac2312f87a1c7b36cef5ca23eb89075)
![{display {begin{aligned}int _{0}^{1}{frac {4,dx}{1+x^{2}}},&=4int _{0}^{1}{frac {dx}{1+x^{2}}}\&=4left[{frac {1}{1}}arctan {frac {x}{1}}right]_{0}^{1}\&=4(arctan x){Bigg |}_{0}^{1}\&=4(arctan 1-arctan 0)\&=4left({frac {pi }{4}}-0right)=piend{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081634b15dacaea99b95c6098ca725130867b575)
![{display {begin{aligned}int {sqrt {a^{2}+x^{2}}},dx&=int {sqrt {a^{2}+a^{2}tan ^{2}theta }},(asec ^{2}theta),dtheta \[6pt]&=int {sqrt {a^{2}(1+tan ^{2}theta)}},(asec ^{2}theta),dtheta \[6pt]&=int {sqrt {a^{2}sec ^{2}theta }},(asec ^{2}theta),dtheta \[6pt]&=int (asec theta)(asec ^{2}theta),dtheta \[6pt]&=a^{2}int sec ^{3}theta ,dtheta.\[6pt]end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108a5f1becea83b5cb41021d81544ff3e1bab889)
![{display {begin{aligned}int {sqrt {a^{2}+x^{2}}},dx&={frac {a^{2}}{2}}(sec theta tan theta +ln |sec theta +tan theta |)+C\[6pt]&={frac {a^{2}}{2}}left({sqrt {1+{frac {x^{2}}{a^{2}}}}}cdot {frac {x}{a}}+ln left|{sqrt {1+{frac {x^{2}}{a^{2}}}}}+{frac {x}{a}}right|right)+C\[6pt]&={frac {1}{2}}left(x{sqrt {a^{2}+x^{2}}}+a^{2}ln left|{frac {x+{sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{a}}right|right)+C.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b28bc818f9ffcffedfb2e767d2d578c4a3e038)
![{display {begin{aligned}int {sqrt {x^{2}-a^{2}}},dx&={frac {a^{2}}{2}}(sec theta tan theta +ln |sec theta +tan theta |)-a^{2}ln |sec theta +tan theta |+C\[6pt]&={frac {a^{2}}{2}}(sec theta tan theta -ln |sec theta +tan theta |)+C\[6pt]&={frac {a^{2}}{2}}left({frac {x}{a}}cdot {sqrt {{frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}-ln left|{frac {x}{a}}+{sqrt {{frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}right|right)+C\[6pt]&={frac {1}{2}}left(x{sqrt {x^{2}-a^{2}}}-a^{2}ln left|{frac {x+{sqrt {x^{2}-a^{2}}}}{a}}right|right)+C.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d551bea9f1a33df981d45ab8cf11a1443d6da85)
![{display {begin{aligned}int f(sin(x),cos(x)),dx&=int {frac {1}{pm {sqrt {1-u^{2}}}}}fleft(u,pm {sqrt {1-u^{2}}}right),du&&u=sin(x)\[6pt]int f(sin(x),cos(x)),dx&=int {frac {1}{mp {sqrt {1-u^{2}}}}}fleft(pm {sqrt {1-u^{2}}},uright),du&&u=cos(x)\[6pt]int f(sin(x),cos(x)),dx&=int {frac {2}{1+u^{2}}}fleft({frac {2u}{1+u^{2}}},{frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}right),du&&u=tan left({tfrac {x}{2}}right)\[6pt]end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9a11e89e8ccd82a402c1c24e5c755bdd6400a0)
![{display {begin{aligned}int {frac {dx}{sqrt {a^{2}+x^{2}}}},&=int {frac {acosh u,du}{sqrt {a^{2}+a^{2}sinh ^{2}u}}}\[6pt]&=int {frac {acosh {u},du}{a{sqrt {1+sinh ^{2}{u}}}}},\[6pt]&=int {frac {acosh {u}}{acosh u}},du\[6pt]&=u+C\[6pt]&=sinh ^{-1}{frac {x}{a}}+C\[6pt]&=ln left({sqrt {{frac {x^{2}}{a^{2}}}+1}}+{frac {x}{a}}right)+C\[6pt]&=ln left({frac {{sqrt {x^{2}+a^{2}}}+x}{a}}right)+Cend{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77dfc6ede19e302c07cf5a7e8d82c4d682f8984e)