数学でnPrとnCrという2つの公式がありますがどういう時にPでどのような時にCを使うのか見分け方などありますでしょうか？

異なるｎ個のものからｒ個を取り出す方法の数が nCr です。 nCr=n!/{(nーr)! r!} です。nCrの計算の中に!が出てきます。 異なるｎ個のものからｒ個を取り出し、 さらにそのｒ個に順番をつける方法の数が、nPr です。 nPr=n!/(nーr)! です。nPrの計算の中に!が出てきます。 特に、異なるn個のものからn個を取り出し、 さらにそのｒ個に順番をつける方法の数が、nPn です。 これは回りくどいので簡単に書くと、異なるn個のものを一列に並べる方法の数が、nPn です。 nPnはnPrにおいてr=nの場合です。 公式 nPr=n!/(nーr)! にn=rを代入することになります。 このとき、nPn=n!/(nーn)!=n!/0!=n!/1=n! となります。nPn=n! です。 異なるn個のものを一列に並べる方法の数は、nPn=n! です。 nCrとnPrの話に戻ります。 通常は、問題文に 「選ぶ」、「組み合わせ」という言葉があれば、nCr、 「並べる」、「順列」という言葉があれば、nPr と判断することが多いですが、例外もあります。 たとえば、40人の中から、委員長、書記、会計を選ぶ場合の数は 40C3 ではなく、40P3 通りになります。 なぜなら、 選んだ３人に、委員長、書記、会計という名前をつけているからです。 これは、 選んだ３人に、１番、２番、３番という名前をつけるのと同じです。 さらにいうと、 ４０人の中から３人を１列に並べたのと同じことになります。 端から１番目の人、２番目の人、３番目の人、ということになりますから。 したがって、この場合は、40P3 通りになるのです。 また、なぜ 40C3 ではいけないのかというと、 40C3 で計算できるのは、 40人の中から３人にただ出てきてもらうだけの場合、 それが何通りあるかということだからです。 ３人出てきただけでは、 その中の誰が委員長で書記で会計かまでは決まりません。 一般に、nCr とnPr のどちらを利用して解けばよいのかを判断するのは、 最終的には問題文をしっかり読むこと、と言うほかありません。 ただ取り出すだけでよいのなら nCr ですし、 何らかの意味で取り出したものの間で順序をつけるのであれば、 nPr です。 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 今のは「選ぶ」問題をPを使って解く例でしたが、「並べる」問題をCを使って解くときもあります。 赤玉3個、青玉2個、白玉４個の合計９個を一列に並べる方法は何通りあるかを求めます。 このように色だけが指定されているときは、同じ色の玉どうしは区別できません。 この問題では、玉を端から順に１個ずつ並べていくのではなく、あらかじめ玉を置く場所が９ヶ所用意されていて、そこに赤玉、青玉、白玉の順に置いていくことで９個の玉を一列に並べるという設定で考えることにします。このように設定したほうが考えやすいですし、設定しても構わないからです。 最初に玉の置き場所９ヶ所の中から赤玉を置く３ヶ所を選びます。これは異なる９個の場所から３個を選んでいるだけで順番はつけていませんから、9C3通りあります。 この9C3通りのそれぞれについて、残りの置き場所6ヶ所の中から青玉を置く2ヶ所を選ぶ方法が6C2通りずつあります（異なる６個の場所から２個を選んでいるだけで順番はつけていませんから、Cを用います）。 最後に残った置き場所４ヶ所には白玉４個を置きます。この方法は１通りしかありません（4C4通り（したがって１通り）と考えることもできます）。 このようにして９個の玉を一列に並べることができます。 その方法の総数は積の法則により 9C3×6C2×1 通り（9C3×6C2×4C4 通り） となります。 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 順列と組合せの見分け方の基本についてまとめておきます。 A) 異なるn個のものからr個を選ぶ場合の数はnCrです。 赤、橙、黄、緑、青、紫 の6文字から３文字選ぶ場合、 6文字はすべて異なりますから、6C3 通りです。 (B) 異なるn個のものからr個を並べる場合の数はnPrです。 赤、橙、黄、緑、青、紫 の6文字から３文字を１列に並べる場合、 6文字はすべて異なりますから、6P3 通りです。 (C) 同じものがいくつかずつあり、そのすべてを並べる場合は 同じものを含む順列の公式です。 赤、赤、赤、青、青、黄 の６文字を並べる方法は 6!/(3! 2! 1!) 通りです。 (D) 同じものがいくつかずつあり、そのすべてではなく その中のいくつかだけを並べる場合は樹形図です。 赤、赤、赤、青、青、黄 の６文字のうち３文字を並べる方法は 樹形図を作って求めます。 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 何かを行ったとき、起こることが全体でn通りあり、そのすべての起こりやすさが同じであるとします。このとき、ある条件に当てはまることがその中のm通りあるなら、それが起こる確率pは p=m/n になります。 nとmは場合の数ですが、この２つを求める方法は、何をどのように行うかで様々に変わります。PやCを用いて計算する場合もあります。