nCr=n!/r!(n-r)!になる意味がわかりません。今まで確率とかでも、分母はr!で、分子はnからrの数分小さく数を掛けていくイメージでした。 → 「n×(n-1)×(n-2)....rの分だけ下げて掛ける/r! 」なぜ最初の式が成り立つのですか？

＞分母はr!で、分子はnからrの数分小さく数を掛けていくイメージでした。 ＞→ 「n×(n-1)×(n-2)....rの分だけ下げて掛ける/r! 」 合ってますよ。その通りです。 だから数学者がそういう階乗記号を作ればよかったんですよ。 7Ｃ3のように Cの前後が数字なら、 7Ｃ3 = (7×6×5)/(3×2×1) のように、 掛け合わせる個数がわかるので、式にするのは簡単です。 でもnＣrのように、文字の変数や定数になると、 掛け合わせる個数がわからないから、!(階乗)記号を使うわけです。 ところが階乗記号は、どこから何個とか、どこからどこまで、が指定できず 最後の1まで掛け合わせることになります。 nＣrでは、分子で本当に必要なのはr個で、 n×(n-1)×(n-2)×...×(n-r+1)までなのに、 n!とすると、その先の(n-r)×(n-r-1)×(n-r-2)×...×1、 つまり(n-r)!が余分になってしまいます。 それで、分母にもこの余分の (n-r)!を掛けることで、 無理に答えを合わせたのが、nＣr=n!/r!(n-r)!です。 数字のほうがわかりやすいかもしれないので、 7Ｃ3で同じ説明を繰り返しますが、 7Ｃ3 = (7×6×5)/(3×2×1)です。 でも分子を7!にすると、 (7×6×5×4×3×2×1)/(3×2×1)になるので、4×3×2×1が余分です。 だから分母にこの余分をかけて、 (7×6×5×4×3×2×1)/(3×2×1)(4×3×2×1) ＝ 7!/3!(7-3)! としたのか公式の形です。 階乗記号の機能が足りないからこんな面倒な公式になっているので、 単に、数値が与えられている順列、組合せの計算だけなら、 数を減らしながらr個を掛けるほうが速いです。 漸化式などで、文字を使うしかない場面になったら、 この公式を思い出せばいいです。