回答（4件）
具体的に7C3でやってみてはどうでしょう？n=7 r=3です 7C3＝7P3/3!＝7・6・5/3・2・1 分子分母に4・3・2・1(これはn−rの階乗)をかけます 分子はnからr個にn−rからn−r個(7から3個に4から4個)の掛け算なので 結局nからn個の掛け算つまりn!です 分母はrの階乗にn−rの階乗をかけてるだけです(3！・4！)
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組合せはとりあえず保留にして、順列をおさらいしましょう。 順列の公式はnを起点として上からr個の数字をかければ良いのですが、上からの階乗は式で表せないですよね。もし階乗で表すとしたら、n!/(n-r)!で表します。 どう言うことかというと、例えば5個のなかから3つ選んで順列をつくるとすると、5×4×3が順列の式となります。ところが階乗で表すと、5!=5×4×3×2×1となり2×1が邪魔になるから消したいわけです。消すためにはどうするかというと2×1すなわち2！でわってあげればよいのです。2！を一般式で表すと(n-r)!になるわけ。 では組合せの一般式はnPr/rPrですよね。n個のなかからr個選んでつくる順列の数をr個中r個選んでつくる順列でわるわけです。rPr=r×・・×2×1=r!ですよね。 そうなるとnPr/rPr=n!/(n-r)!÷r!となるから、整理するとn!/｛r!×(n-r)!｝となります。 わかりましたか？
見ての通り分子の n(n−1)(n−2)･･･(n−r+1) は nPr です. nPr がこのように表される説明は教科書等を参照ください. 添付画像は変形の概要です. n−r+1 は n−(r−1) と考えた方が分かりやすいかもしれません.
ｎＣｒ ＝ｎＰｒ/ｒ！ ＝【ｎ（ｎ-1）（ｎ-2）・・・｛ｎ-（ｒ-1）｝] /｛ｒ（ｒ-1）（ｒ-2）・・3・2・1｝ 分母分子に、（ｎ-ｒ）！をかける ＝【ｎ（ｎ-1）（ｎ-2）・・・｛ｎ-（ｒ-1）｝・（ｎ-ｒ）！] /｛ｒ（ｒ-1）（ｒ-2）・・3・2・1｝（ｎ-ｒ）！ ＝【ｎ（ｎ-1）（ｎ-2）・・・｛ｎ-ｒ+1｝・（ｎ-ｒ）！] /｛ｒ（ｒ-1）（ｒ-2）・・3・2・1｝（ｎ-ｒ）！ ＝【ｎ（ｎ-1）（ｎ-2）・・｛ｎ-ｒ+1｝（ｎ-ｒ）・・・1] /｛ｒ（ｒ-1）（ｒ-2）・・3・2・1｝（ｎ-ｒ）！ ＝ｎ！/ｒ！（ｎ-ｒ）！となります ＜例＞ 5Ｃ3 ＝5Ｐ3/3！ ＝（5・4・3）/（3・2・1） 分母分子に （5-3）！＝2！＝2・1をかけると ＝（5・4・3）・（2・1）/（3・2・1）（2・1） ＝5！/（3！2！）となります。
