高校数学についての質問です。 nCr=n-1Cr-1+n-1Cr を組合せの公式を使って証明せよ。 という問題の答えがわかりません。 分かる方教えていただけるとありがたいです。 よろしくお願いします。
補足
下の写真は、問の式を見やすくしたものです。
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n-1Cr-1=(n-1)！/{(r-1)！(n-r)！}＝(n-1)！r/{r！(n-r)！} +n-1Cr=(n-1)！/{r！(n-r-1)！}＝(n-1)！(n-r)/{r！(n-r)！} ですから、 n-1Cr-1+n-1Cr＝(n-1)！r/{r！(n-r)！}+(n-1)！(n-r)/{r！(n-r)！} ＝(n-1)！ｎ/{r！(n-r)！} ＝n！/{r！(n-r)！} ＝nＣr となります。
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nCr =n!/{r!(n-r)!}................① (n-1)C(r-1) =(n-1)!/{(r-1)!((n-1)-(r-1))!} =(n-1)!/{(r-1)!(n-r)!} ={(n-1)!xnxr}/{{(r-1)!(n-r)!xnxr} =(n!xr)/{r!(n-r)!xn}➁ (n-1)Cr =(n-1)!/{r!((n-1)-r)!} =(n-1)!/{r!((n-r)-1)!} ={(n-1)!xnx(n-r)}/{r!x(n-r-1)!xnx(n-r)} ={n!x(n-r)}/{r!(n-r)!xn}③ ②+③より、 (n-1)C(r-1)+(n-1)Cr =[(n!xr)/{r!(n-r)!xn}]+[{n!x(n-r)}/{r!(n-r)!xn}] ={n!xr+n!x(n-r)}/{r!(n-r)!xn} =(n!xn)/{r!(n-r)!xn} =n!/{r!(n-r)!}.......................④ よって、 ①、④より、 nCr =(n-1)C(r-1)+(n-1)Cr
n-1Cr-1+n-1Cr =(n-1)!/(n-r)!(r-1)! + (n-1)!/(n-1-r)!r! =r･(n-1)!/(n-r)!r! + (n-r)・(n-1)!/(n-r)!r! ={r+(n-r)}(n-1)!/(n-r)!r! =n･(n-1)!/(n-r)!r! =n!/(n-r)!r! =nCr
